Musique & Mathématiques
Lorsqu'on cherche à émettre de la musique sur un ordinateur, le paramètre à passer est une fréquence. Le présent article rappelle le principe de calcule des fréquences pour chaque note.Gamme tonale
En musique tonale, la gamme majeure définit huit degrés. Les espaces entre les degrés sont définis en tons. En général, l'espace entre deux degrés fait un ton, sauf pour les espaces Médiante-Sous-dominante et Note sensible-Octave qui ne font qu'un demi-ton. Une octave fait donc 12 demi-tons. Le tableau ci-dessous illustre ces définitions pour la gamme de Do Majeur :
| Degré | Note (en DO Majeur) | Espace (en tons) |
|---|---|---|
| Tonique |
Do
| |
| Sus-tonique |
Ré
| 1 |
| Médiante |
Mi
| 1 |
| Sous-dominante |
Fa
| 1/2 |
| Dominante |
Sol
| 1 |
| Sus-Dominante |
La
| 1 |
| Note sensible |
Si
| 1 |
| Octave |
Do
| 1/2 |
Intervalles
Les intervalles entre les degrés font aussi l'objet de leur propre terminologie. Voici un tableau résumant ceux-ci :
| Intervalle | Nombre de demi-tons | Exemples en Do Majeur |
|---|---|---|
| Prime (Unisson) |
0
| Do-Do, Ré-Ré, Mi-Mi, Fa-Fa, Sol-Sol, La-La, Si-Si |
Seconde majeure
|
2
| Do-Ré, Ré-Mi, Fa-Sol, Sol-La, La-Si |
| Tierce majeure |
4
| Do-Mi, Fa-La, Sol-Si |
Quarte juste
|
5
| Do-Fa, Ré-Sol, Mi-La, Sol-Do, La-Ré, Si-Mi |
| Quinte juste |
7
| Do-Sol, Ré-La, Mi-Si, Fa-Do, Sol-Ré, La-Mi |
| Sixte majeure |
9
| Do-La, Ré-Si, Fa-Ré, Sol-Mi |
| Septième majeure |
11
| Do-Si, Fa-Mi |
| Octave juste |
12
| Do-Do, Ré-Ré, Mi-Mi, Fa-Fa, Sol-Sol, La-La, Si-Si |
Degrés tonals et fréquences
Le calcul de la fréquence des notes s'appuie sur les rapports harmoniques pour lesquels la fréquence de la Tonique est multipliée par un nombre entier.
- Le facteur 2 permet d'obtenir l'Octave. Toutes les notes de même nom ont des fréquences multipliées ou divisées par un multiple de 2.
- Le facteur 3 permet d'obtenir la Dominante. La Dominante immédiatement supérieure à la Tonique s'obtient par l'octave en dessous, soit un facteur de 3/2. Ce facteur est celui de la Quinte juste.
- Le facteur 4 n'a aucun intérêt puisque qu'il définit l'Octave de l'Octave par rapport à la Tonique.
- Le facteur 5 permet d'obtenir la Médiante. La Médiante immédiatement supérieure à la Tonique s'obtient par deux octaves en dessous, soit un facteur de 5/4. Ce facteur est celui de la Tierce Majeure.
Ces quatre notes Tonique-Mediante-Dominante-Octave définissent un arpège. Jouées ensemble, elles constituent un accord parfait.
Les autres notes sont obtenues à partir des notes de l'arpège par des intervalles en Quinte juste.
- La Sus-tonique s'obtient par une Quinte juste en partant de la Dominante. Ce qui définit un facteur de 9/8 par rapport à la Tonique.
- La Sous-dominante s'obtient par une Quinte inversée (descendante) en partant de la Tonique. Ce qui définit un facteur ascendant de 4/3 par rapport à la Tonique.
- La Sus-dominante s'obtient par une Quinte inversée (descendante) en partant de la Médiante. Ce qui définit un facteur ascendant de 5/3 par rapport à la Tonique.
- La Note sensible s'obtient par une Quinte juste à partir de la Médiante. Ce qui définit un facteur de 15/8 par rapport à la Tonique.
- On l'obtient aussi par une Tierce Majeure à partir de la Dominante.
Dans la gamme tonale, il faut remarquer que la quinte entre la Sus-tonique et la Sus-dominante n'est pas tout à fait une Quinte juste. En effet, le facteur pour cette quinte n'est que de 40/27 (1.481) au lien de 3/2 (1.5).
Cette méthode de calcul permet des définir des facteurs pour tous les intervalles par rapport à la tonique :
| Degré | Intervalle / Tonique | Nombre de demi-tons | Facteur de fréquence |
|---|---|---|---|
| Tonique | Prime (Unisson) |
0
|
1/1
|
| Sus-tonique | Seconde majeure |
2
|
9/8
|
| Mediante | Tierce majeure |
4
|
5/4
|
| Sous-dominante | Quarte juste |
5
|
4/3
|
| Dominante | Quinte juste |
7
|
3/2
|
| Sus-dominante | Sixte majeure |
9
|
5/3
|
| Note sensible | Septième majeure |
11
|
15/8
|
| Octave | Octave juste |
12
|
2/1
|
Exemples de calculs
Dans les calculs précédents, toutes les fréquences sont calculées à partir de la Tonique, c'est-à-dire la note qui donne le ton. Malgré tout, la référence pour accorder les instruments entre eux est la note La à 440 Hertz. Le calcul consiste donc à calculer la fréquence de la Tonique en fonction de sa position par rapport au La de 440 Hertz, puis d'utiliser les facteurs pour les autres notes de la gamme.
Calcul de la gamme pour Do Majeur
La note La (440 Hertz) a le degré de Sus-Dominante dans la gamme de Do Majeur. Pour obtenir la fréquence de la Tonique Do, il suffit de diviser 440 par le facteur 5/3. Voici, ci dessous, le tableau résultant ne comparaison avec les fréquences tempérées.
| Note | Fréquence tonale | Fréquence tempérée |
|---|---|---|
| Do | 264,00 | 261,63 |
| Ré | 297,00 | 293,66 |
| Mi | 330,00 | 329,63 |
| Fa | 352,00 | 349,23 |
| Sol | 396,00 | 392,00 |
| La | 440,00 | 440,00 |
| Si | 495,00 | 493,88 |
| Do | 528,00 | 523,65 |
Calcul de la gamme pour Sol Majeur
La note La (440 Hertz) a le degré de Sus-Tonique dans la gamme de Sol Majeur. Pour obtenir la fréquence de la Tonique Sol, il suffit de diviser 440 par le facteur 9/8. Voici, ci dessous, le tableau résultant ne comparaison avec les fréquences tempérées.
| Note | Fréquence tonale | Fréquence tempérée | ||
|---|---|---|---|---|
| Sol | 195,56 | 391,11 | 196,00 | 392,00 |
| La | 220,00 | 440,00 | 220,00 | 440,00 |
| Si | 244,44 | 488,88 | 246,94 | 493,88 |
| Do | 260,74 | 521,48 | 261,63 | 523,65 |
| Ré | 293,33 | 586,67 | 293,66 | 587,33 |
| Mi | 325,93 | 651,85 | 329,63 | 659,26 |
| Fa# | 366,67 | 733,33 | 369,99 | 739,99 |
| Sol | 391,11 | 782,22 | 392,00 | 783,99 |
Calcul de la gamme pour Ré Majeur
La note La (440 Hertz) a le degré de Dominante dans la gamme de Ré Majeur. Pour obtenir la fréquence de la Tonique Ré, il suffit de diviser 440 par le facteur 3/2. Voici, ci dessous, le tableau résultant ne comparaison avec les fréquences tempérées.
| Note | Fréquence tonale | Fréquence tempérée |
|---|---|---|
| Ré | 293,33 | 293,66 |
| Mi | 330,00 | 329,63 |
| Fa# | 366,67 | 369,99 |
| Sol | 391,11 | 392,00 |
| La | 440,00 | 440,00 |
| Si | 488,89 | 493,88 |
| Do# | 550,00 | 554,37 |
| Ré | 586,66 | 587,33 |
Inconvénients des fréquences tonales
D'abord, toutes les quintes ne sont pas des Quintes justes. En effet, la quinte formée entre la Sus-tonique et la Sus-dominante a un facteur de 40/27 (1.481) au lien de 3/2 (1.5). Ce qui crée une dissonance entre ces deux notes.
En second, en fonction de la tonalité du morceau de musique joué, les instruments de musique doivent être ré-accordés pour être en harmonie parfaite. Ce qui est possible pour certains instruments comme le violon qui ne comporte que quatre cordes, mais qui peut se révéler laborieux si le nombre de cordes est important comme pour la harpe ou le piano, voire impossible pour les bois (flutes, hautbois, par exemple) dont l'accord est fixe.
Aussi, l'usage des fréquences tonales est-il délaissé au profit des fréquences tempérées.
Gamme tempéré ou gamme chromatique
Le principe de la gamme chromatique est de diviser l'octave en 12 demi-tons strictement égaux. Soit fq facteur de fréquence pour élever une note d'un demi-ton. Comme le facteur de l'octave est de 2, puisque la fréquence est doublée à chaque octave, on a : fq12 = 2. Et donc : fq = 21/12, soit 1,0594630943.
Dans la gamme tempérée, toutes les tierces et toutes les quintes ont exactement le même facteur. Cependant, contrairement à la gamme tonale, celles-ci sont légèrement dissonantes. En effet, le facteur de tierce est de 1.26 au lieu de 1,25 et le facteur de quinte est de 1,498 au lieu de 1,5.
Voici, ci-dessous, le tableau des fréquences de la gamme chromatique accordée sur le La-440 Hertz :
| Do |
65,41
|
130,81
|
261,63
|
523,25
|
| Do# |
69,30
|
138,59
|
277,18
|
554,37
|
| Ré |
73,42
|
146,83
|
293,66
|
587,33
|
| Ré# |
77,78
|
155,56
|
311,13
|
622,25
|
Mi
|
82,41
|
164,81
|
329,63
|
659,26
|
| Fa |
87,31
|
174,61
|
349,23
|
698,46
|
| Fa# |
92,50
|
185,00
|
369,99
|
739,99
|
| Sol |
98,00
|
196,00
|
392,00
|
783,99
|
| Sol# |
103,83
|
207,65
|
415,30
|
830,61
|
| La |
110,00
|
220,00
|
440,00
|
880,00
|
| La# |
116,54
|
233,08
|
466,16
|
932,33
|
| Si |
123,47
|
246,94
|
493,88
|
987,77
|
| Do |
130,81
|
261,63
|
523,25
|
1046,50
|
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